Gerçek sayılar (veya Reel sayılar), Rasyonel sayılar kümesinin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir.

Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer ondalık açılımı vardır. Mesela

veya

eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise rasyonel sayılara ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir.

Reel Sayılar Rasyonel sayılar Kümesi'nin standart metriğe göre bütünlenmesiyle elde edilen kümedir. Reel Sayılar Kümesi sembolüyle gösterilir.

REEL SAYI SİSTEMİNİN ELDE EDİLİŞİ Bütün rasyonel sayıları sayı doğrusu üzerinde işaretlediğimizi düşünelim.Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır. Demek oluyor ki, sayı doğrusu üzerinde birbirlerine istenildiği kadar yakın iki rasyonel nokta arasında , sonsuz çoklukta rasyonel nokta vardır. Şimdi akla şu soru geliyor: Madem ki sayı doğrusu üzerinde rasyonel noktalar denilen bu noktalar bu kadar sık, acaba bu doğru üzerinde daha başka noktalar olabilir mi?

Bu sorunun cevabını verebilmek için, kenar uzunluğu 1 olan bir karenin köşegen uzunluğunu sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. Bu uzunluk x dir, ve rasyonel olmayan, yani p ve q birer tam sayı olmak üzere p/q şeklinde gösterilemeyen bir sayıdır.

Gerçekten, kabul edelim ki x=p/q olsun. Bundan başka, bu kesrin artık kısaltılamayan bir kesir olduğunu farz edelim, yani p ve q aralarında asal olsunlar. Başka bir deyimle, bunların 1 den başka ortak bölenleri bulunmasın. p ve q nün aralarında asal olduğunu belirtmek için ekseriya (p , q) = 1 yazılır. x=p/q eşitliğinde her iki tarafın karesini alarak 2x=x bulunur. Burada sol taraf bir çift sayı olduğundan sağ taraf da çift sayıdır. Demek p = 2p1 . Bunu son eşitlikte yerine koyup her iki tarafı 2 ile kısaltırsak aynı muhakeme ile q = 2q1 elde edilir. Böylece (p , q) = 1 hipotezine aykırı bir sonuç bulunmuş olur. O halde x rasyonel bir sayı değildir. Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayılar denir. Görülüyor ki, sayı doğrusu üzerinde bütün rasyonel noktalar kendi kendine sık olmakla beraber , bunlar arasında gene boşluklar bulunmaktadır.

Basit aritmetik teknikleriyle kolayca ispatlanabileceği üzere, tüm rasyonel sayıların tekrar eden birer ondalık açılımı vardır. Mesela

=0,3333…

veya

=1,15384…

eşitliklerinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Rasyonel sayılardan reel sayıları elde etme işlemini ise rasyonel sayılara ondalık açılımındaki rakamların periyodik tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz reel sayılara irrasyonel sayılar denir.

İrrasyonel Sayılara Örnekler: ,e,∏

Bazı Yan Bilgiler: Tam kare olmayan hiç bir doğal sayının karekökü rasyonel değildir. Rasyonel Sayılar Kümesi'nin sayılabilir olmasına karşılık Reel Sayılar Kümesi sayılamazdır. İrrasyonel sayılar da kendi içlerinde "cebirsel sayılar" ve "aşkın sayılar" olarak ikiye ayrılırlar. İrrasyonel sayıların varlığının ilk Pisagor tarafından anlaşılmış olduğu görüşü yaygındır. Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu düşünmüş ve bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır. Arşimet Özelliği: x ve y birer reel sayı olsun ve x sıfırdan büyük olsun. Bu durumda nx> y özelliğini sağlayan bir n doğal sayısı vardır.

İrrasyonel Sayılara Örnekler 

, , , π , /2 ... birer irrasyonel sayıdır. İki irrasyonel sayının toplamı, çarpımı, yine bir irrasyonel sayı mıdır? Bu soruya veriilecek cavap "hayır" olacaktır. İrrasyonel sayılar çok yoğundur. Öyleki; irrasyonel sayılar sayı doğrusunu -hiç boşluk kalmayacak biçimde- kaplarlar.Şu bir fikir verebilir: Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta irrasyonel sayı vardır.